Question

求解如图中第三问

Answer 1

f（x）=ax²十2/（e^x十1）
f'（x）=2ax-2e^x/（e^x十1）²
f（0）=1
f'（0）=2a-2/（1十1）²
=1-1/2=1/2
切线方程:
y=x/2十1

追答

g（x）=两个函数相减
交点，是g（x）的0点。
已有一个（0,1）
研究单调性，可以确定是否还有其他0点。

追问

怎样研究，求导显然不行吧？

追答

g（x）=ax²十2/（e^x十1）-x/2-1
g'（x）=2ax-2e^x/（e^x十1）²-1/2
=x-2e^x /（e^x十1）²-1/2
g''（x）=1-2/ （e^x十 1）²十4e^2x/ （e^x十1）³

=（e^3x十3e^2x十3e^x十1-2e^x-2十4e^2x）/（e^x十1）³
= （e^3x十7e^2x十e^x-1）/（e^x十1）³

复杂点的函数，研究导数正负，可以利用更高阶的导数，高阶导数>0,前阶导数增；高阶导数<0,前阶导数减。

上面，分母正，分子，设t=e^x>0，分子z=t³十7t²十t-1
有三个实根，其中正的只有t=0.3077736984
对应x=lnt=-1.178390513
x>-1.17839,g''（x）>0,g'（x）增，
g'（0）=-10
函数在x>0后，先减后升，g（1）=-0.4621,g（2）=0.2384,
在（1,2）之间还有一个0点。

在（-1.17839,0）
g''>0,g'增，g'（0）<0,所以此范围，g'<0,函数位于x上方。

不好意思，g''搞错了
g''（x）=（e^3x十5e^2x十e^s十1）/（e^x十1）³>0

g'（x）在x<0之内，总是负数，函数下降，因此，x<0没有0点。
切线与函数共有2个交点。