Question

初一奥数，悬赏20，答案要正确过程要详细

1.证明：对任意正整数n,可以将n表示为n=a-b的形式，这里a,b为正整数，且a,b的不同质因子个数相同。
2.证明：存在无穷多个正整数，不能表示为1个完全平方数与1个质数之和。

Answer 1

1显然令K=mP(其中的m是取正整数）则P*P+K=P*P+mP=P*(P+m)这里P是一个质数，(P+m)>1,所以该数是合数由于m可以无穷的取，所以K也是存在无穷多的。2题目的理解，如8，8=2³因为找它不同质因子的个数，3个2相同故它只有一个不同的质因子，再如70=7*2*5有三个不同的质因子，对于N含2是，取A=2N,B=N,这样A只是N中的质因子2的次数增加1，不同的质因子的数目不变，故所取符合要求，一下不再说明，当N不含2不含3时，则A=3N,B=2N时，A中比N含有的个数增加1，B也比N中的个数增加1，仍符合要求，当N不含2，含3，不含5时，取A=5N,B=2*2=4N,当N不含2，含3，5，不含7时，取A=7N,B=2*3N=6N,依次类推当N不含2，含3，5，7，...不含p时（2，3，5...p这些质数是顺次排列的）取A=qN(q是比p大与p的差最小的质数），B=(q-1)N,则A中的质因子比N增加一个q,B中的(q-1)是偶数，有一个2，其他的质因子是3，5，..p中 的若干，也是比N增加一个2，它们的不同的质因子的个数相同，符合要求，说明由于N可以无限的取要求质数也是无限的，可以用反证法，设质数有限的有a1，2a，3a....ak就没有质数了，但a1a2a3..ak+1是不能被前边的所有的质数整除，故它也是质数，这样假设不成立所以质数是无限的