Question

设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和。已知S3=7

设｛an｝是公比大于1的等比数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S3=7，且a1+3,3a2,a3+4,构成等差数列，
1求数列｛an｝的通项，
2令bn=1/[n(n+1)]+a2n,n=1,2,...,求数列{bn}的前n项和Tn。
跪求第二问详细过程！！！！~（后加分！！！！！！！！）

答案：（1）an=2^(n-1)
(2)2^(2n+1)/3+1/3-1/(n+1)

Answer 1

解：（1）由已知得：a1+a2+a3=7(a1+3)+(a3+4)2=3a2.​
解得a2=2．
设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=
2q，a3=2q．
又S3=7，可知2q+2+2q=7，
即2q2-5q+2=0，
解得q1=2，q2=
12．
由题意得q＞1，∴q=2．∴a1=1．
故数列{an}的通项为an=2n-1．
（2）bn=
1n(n+1)+a2n=
1n(n+1)+22n-1
Tn=（11×2+2）+（12×3+23）+…+[1n×(n+1)+22n-1]
=[11×2+12×3+…+1n×(n+1)]+（2+23+…+22n-1）
=[（1-12）+（12-
13）+…+（1n-
1n+1）]+2(1-4n)1-4
=（1-1n+1）+2(4n-1)3
=22n+13+
13-
1n+1

Answer 2

bn=1/(n(n+1))+2^(2n-1)=1/n-1/(n+1)+2^2n/2=1/n-1(n+1)+1/2 * 4^n
E<1/n - 1/(n+1)>此数列依次从1到n，消掉得=1-1/(n+1)
E<1/2*4^n>此数列是等比数列得1/2*<4(1-4^n)/(1-4)>=2*4^n/3-2/3=2^(2n+1)/3-2/3
Ebn=E<1/n - 1/(n+1)>+E<1/2*4^n>=2^(2n+1)/3+1/3-1/(n+1)

Answer 3

解：（1）由已知得：a1+a2+a3=7a1+a3-1=2a2，解得
a2=2．（2分）
设数列{an}的公比为q，由
a2=2，可得
a1=2q，a3=2q，
又S3=7，可知
2q+2+2q=7，即
2q2-5q=2=0，解得
q=2，或q=12．（4分）
由题意得
q＞1，∴q=2，a1=1，
故数列
{an}的通项公式为
an=2n-1．（6分）
（2）由（1）得
a2n+1=22n=4n，由于
bn=log4 a2n+1，∴bn=log4 4n=n．（8分）
1b1b2+1b2b3+1b3b4+…+1bn-1bn=11×2+12×3+…+1(n-1)n
=1-12+12-13+13-14+…+1n-1-1n=1-1n．（12分）