Question

设a为实数,函数f(x)=(a+cosx)(a-sinx)-1有零点,求a的取值范围

Answer 1

f(x)=(1/2)(sinx-cosx)²-a(sinx-cosx)+a²-(3/2)

设t=sinx-cosx,则t∈[-√2,√2]
f(x)=(1/2)t²-at+a²-(3/2)
得f(x)有零点的充要条件是:
方程(1/2)t²-at+a²-(3/2)=0在[-√2,√2]上有实根。
即t²-2at+2a²-3=0在[-√2,√2]上有实根。
设g(t)=t²-2at+2a²-3,也有g(t)=(t-a)²+a²-3
g(-√2)=2a²+(2√2)a-1,g(√2)=2a²-(2√2)a-1,g(a)=a²-3
a可取的充要条件是:
g(-√2)·g(√2)≤0
或(g(-√2)>0且g(√2)>0且-√2<a<√2且a²-3≤0)
由g(-√2)·g(√2)≤0解得:-1-√2/2≤a≤-1+√2/2或1-√2/2≤a≤1+√2/2
由g(-√2)>0且g(√2)>0且-√2<a<√2且a²-3≤0 解得 无解.
所以 a的取值范围是[-1-√2/2,-1+√2/2]∪[1-√2/2,1+√2/2].

希望能帮到你！

Answer 2

也可以用数形结合：
设u=a+sinx，v=a-cosx
则由题意：uv=1
（u-a）^2+（v-a）^2=1
画出图像知a∈[-1-√2/2,-1+√2/2]∪[1-√2/2,1+√2/2]