Question

求过（-1，2）点的曲线，其上任意点处的切线与x轴的交点横坐标为该点

求过（-1，2）点的曲线，其上任意点处的切线与x轴的交点横坐标为该点的横坐标的平方

Answer 1

解：
设函数为f(x)，函数图像上任意一点(x0，f(x0))处的切线方程：
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
令y=0，x=x0²得
f'(x0)(x0²-x0)+f(x0)=0
(x0，y0)为函数图像上任意一点，因此
f'(x)(x²-x)+f(x)=0
dy(x²-x)=-f(x)dx
(-1/y)dy=[1/(x-1) -1/x]dx
等式两边同时积分
-ln|y|=ln|(x-1)/x| +C
ln|y|=-ln|(x-1)/x| -C
x=-1，y=2代入
ln|2|=-ln|(-1-1)/(-1)| -C
解得C=-2ln2
ln|y|=ln|x/(x-1)|+2ln2
|y|=|4x/(x-1)|
y=-4x/(x-1)(x=-1，y=2代入检验，不满足，舍去)或y=4x/(x-1)
综上，得：函数解析式为f(x)=4x/(x-1)