Question

材料的理论断裂强度

Answer 1

一、理论断裂强度

强度是工程材料最基本的力学性能参数之一，它规定了材料在外力作用下抵抗永久形变或断裂的能力。材料抵抗屈服破坏的能力就称为材料的屈服强度。材料抵抗断裂的能力则称为材料的断裂强度。在断裂力学出现之前，控制构件不发生破坏而能安全工作的传统设计思想就称为“强度理论”。这一设计思想的基本要求是保证构件的工作应力不超过某一极限允许使用应力，而后者便与材料强度密切相关。强度理论对于确保构件的安全工作曾仿慧灶经发挥过积极的作用；而即使在断裂力学已经在工程设计中发挥了重要作用的今天，强度理论对于构件设计也仍然是必不可少的理论依据之一。

Griffith的断裂理论是为了揭示材料的理论断裂强度与实际断裂强度间存在着很大差异的原因而提出的，为此首先讨论材料的理论断裂强度，即固体材料断裂强度在理论上可能达到的最高值。

图1-1 材料中原子间吸引力的排斥力

固体材料的理论断裂强度可根据固体物理学的双原子作用力模型近似计算出来。即从原子间结合力入手。因为只有克服了原子间结合力，材料才有可能发生断裂。材料结构中任何两个相邻原子之间都同时存在着斥力和引力的作用，斥力和引力的大小都随原子间距离的变化而变化。斥力和引力并不是时时处处都相等的，二者间相互消长的结果得到原子间净约束力随原子间距离的变化关系，如图1-1所示。设原子间净约束力在x=b时为零，称b为原子间的平衡距离。当x＜b时，原子间净约束力表现为斥力；当x＞b时，原子间净约束力表现为引力。

欲使处于平衡状态的一对原子之间的距离减小，外界必须提供一个压应力作用；欲使处于平衡状态的一对原子之间的距离增大，外界则必须提供一个拉应力。设想对材料施加一个逐渐增大的拉应力作用，则材料内部原子间距离将随着外加应力的增大而增大，而原子间净约束力也相应增大。在原子间距离增大至某一特征值之前，外加应力与材料内部原子间净碧桐约束力始终保持平衡；而当增大至原子间净约束力相应达到峰值之后，外加应力的进一步增大势必要破坏这一平衡关系，从而使原子间距离可以无限制地增大，在这种情况下，原子键就破裂了，即产生了断裂。

固体材料的理论断裂强度，实质上就是材料内部原子间净约束力可能达到的峰值。材料内部质点之间的相互作用力的合力与质点间距的函数关系如图1-2所示。作为近似计算，图1-2中的曲线可以用一条正弦曲线的一部分代替，于是，单位面积的作用力σ可表示为

岩石断裂与损伤

式中：σ_max为作用力的峰值；λ是正弦曲线的波长；x表示原子间距的增量。

图1-2 质点间作用力与间距的关系

如果使两个质点间的作用力完全消失，即质点间的结合完全破坏，需对质点施加一定的外力，即对质点做功，做功的大小应等于正弦曲线与x轴所围的面积，即

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这部分功相当于形成两个新表面所需的能量。设形成单位新表面所需的能量为γ，称为表面能，则上式可写成

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为了计算波长λ，可将式（1-1）对x求导，并注意到当x很小时，cos（2πx/λ）=1，则有

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当x很小时，作用力σ与间距之间可近似为直线关系，即服从胡克定律：

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式中：E为材料的弹性模量；ε为应变。将上式对x求导，得

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将式（1-3）与式（1-4）比较，不难看出

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将上式代入备扮式（1-2）中，可消去λ，从而求出理论断裂强度：

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上式中的弹性模量E、表面能γ、原子间距b均可通过实验测定。例如：一般陶瓷材料的E=10¹¹N/m²，γ=1J/m²，b=10^-9m。则按式（1-5）算出的理论断裂强度为10¹⁰N/m²。大约是E/10。其他材料的理论断裂强度也在这个数量级范围内。

然而，各种材料的抗拉断裂强度远远低于上述的理论值，大部分在E/100～E/1000范围内。例如：玻璃的实际强度约为E/1000，花岗岩和大理岩分别约为E/240和E/310。为什么实际断裂强度与理论值相差这么大?Griffith在20世纪20年代初提出了断裂的裂纹理论。

二、断裂的裂纹理论

Griffith认为：实际材料的断裂强度远低于理论值，是由于材料内部或表面总是存在一定数量和一定大小的裂纹所致，材料中的杂质或不同成分由于其弹性模量或热膨胀性能不同，因此温度上的差别以及化学腐蚀作用或机械作用的结果都可能诱发产生裂纹；此外，位错间的相互作用也可能形成微裂纹。当材料受力时，某些裂纹尖端附近会产生很高的应力集中，从而使外加应力低于理论断裂强度时，裂纹尖端的材料即被拉断，并进一步削弱了有效承载截面而导致材料的最终破坏。

图1-3 椭圆孔边的应力分布

计算裂纹尖端应力集中的程度，可利用Inglis对裂纹尖端应力场的研究结果。Inglis用数学弹性力学的方法分析了如图1-3所示具有椭圆孔的无限大平板受拉伸应力作用时，椭圆孔附近的二维应力场，得出了长为2a的裂纹尖端处的最大应力为

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式中：σ₀为外加应力；a为椭圆形裂纹半长度；ρ为裂纹尖端的曲率半径。

应力集中系数可表示为

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实际上，ρ《a，因此，a/ρ》1，式（1-6）可改为

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材料破裂时σ_max应等于理论断裂强度，因此将式（1-5）代入上式，可求出外加应力的极值，即实际断裂强度σ：

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考虑到b与ρ是同数量级，上式变为

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这就是实际断裂强度的表达式。比较式（17）与式（15），并注意到a≫b，可知实际断裂强度与理论断裂强度相比显然要低得多。

为了验证自己的理论，Griffith做了玻璃拉伸试验。他发现：将玻璃从坩埚中拉成丝后，在几秒钟内立即做实验时，测出的拉伸强度比较接近理论值，但其强度随时间而下降，并在数小时后趋于稳定。Griffith认为：这是由于玻璃纤维在硬化过程中产生了细微的裂纹之缘故。另外，他又用直径为0.5μm和3.3μm的玻璃丝做拉伸试验，发现玻璃丝的直径愈小其强度愈高。直径为3.3μm的玻璃丝的强度为3500MPa，比大直径的玻璃丝的强度高50倍，而0.5μm的玻璃丝其强度为6300MPa，已接近理论强度的一半。这表明：尺寸愈小，内部缺陷或裂纹愈少，因此断裂强度愈接近理论值。