Question

求证:[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9

Answer 1

已知非零实数a,b,c满足a+b+c=0,求证：
求证9
[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]
=1+a(a-b)/[c(b-c)]+b(a-b)/[c(c-a)]+1+c(b-c)/[a(a-b)]+b(b-c)/[a(c-a)]+1+c(c-a)/[b(a-b)]+a(c-a)/[b(b-c)]
=3+a(a-b-c)/(bc)+c(c-b-a)/(ac)+b(b-a-c)/(ac)
[因a+b+c=0,
所以b+c=-a
a+b=-c
a+c=-b代入上式]
=3+2a^2/(bc)+2c^2/(ab)+2b^2/(ac)
=3+2(a^3+b^3+c^3)/(abc)
[因为a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-(a+b)^3=(a+b)(a^2-ab+b^2）-（a+b)(a^2+b^2+2ab)=(a+b)(-3ab)=（-c）*（-3ab）=3abc
代入上式]
=3+2*3abc/(abc)=9