Question

已知函数y=f（x）的定义域为R,并对一切实数x,都满足f（2+x）=f（2-x）. ①证明:函数

Answer 1

。要y=f(x)图像关于x=2对称，则要对于每个y=f(x)上的点P(x1，y1)，都有它关于x=2对称点P'(x1'，y1')在图像上
x1'=4-x1
y1'=y1
由于f(2+x)=f(2-x)
∴对于任意实数x，有f(x)=f(4-x)
∴y1'=y1=f(x1)=f(4-x1)=f(x1')
∴P'在图像上
∴函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称
2.。令2<=t<=4,且t=x+2,则0<=x<=2,

f(t)=f(2+x)=f(2-x),0<=(2-x)<=2

所以f(t)=f(2-x)=2(2-x)-1,

=3-2x(又x=t-2)

=-2t+7.（2<=t<=4）

因为f(x)是偶函数。可令-4<=a<-2,则

2<=-a<=4,f(a)=f(-a)=2a+7,(-4<=a<-2)

令-2<=k<=0,0<=-k<2,

f(k)=f(-k)=-2k-1,(-2<=k<=0)

综上，f(x)=2x+7,(-4<=x<-2)

f(x)=-2x-1,(-2<=x<=0)
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