Question

如图,已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A(-1,0).B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.

Answer 1

解：（1）∵a(－1，0)、b(3，0)经过抛物线y＝ax
2
＋bx＋c，
∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。
又∵c(0，3)
经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。
∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x
2
＋2x＋3。
（2）连接bc，直线bc与直线l的交点为p。
则此时的点p，使△pac的周长最小。
设直线bc的解析式为y＝kx＋b，
将b(3，0)，c(0，3)代入，得：
，解得：
。
∴直线bc的函数关系式y＝－x＋3。
当x－1时，y＝2，即p的坐标(1，2)。
（3）存在。点m的坐标为(1，
)，(1，－
)，(1，1)，(1，0)。
二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。
【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。
（2）由图知：a、b点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接bc，那么bc与直线l的交点即为符合条件的p点。
（3）由于△mac的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①ma＝ac、②ma＝mc、②ac＝mc；可先设出m点的坐标，然后用m点纵坐标表示△mac的三边长，再按上面的三种情况列式求解：
∵抛物线的对称轴为：
x=1，∴设m(1，m)。
∵a(－1，0)、c(0，3)，∴ma
2
＝m
2
＋4，mc
2
＝m
2
－6m＋10，ac
2
＝10。
①若ma＝mc，则ma
2
＝mc
2
，得：m
2
＋4＝m
2
－6m＋10，得：m＝1。
②若ma＝ac，则ma
2
＝ac
2
，得：m
2
＋4＝10，得：m＝±
。
③若mc＝ac，则mc
2
＝ac
2
，得：m
2
－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，
当m＝6时，m、a、c三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。
综上可知，符合条件的m点，且坐标为(1，
)，(1，－
)，(1，1)，(1，0)。