Question

知中心在原点的椭圆C过点M(1,根号6/2），F(-根号2，0）是椭圆的左焦点，P,Q是椭圆C上的两个动点

Answer 1

(1)c=1
由c/a=√2/2得a=√2
b^2=a^2-c^2=1
椭圆方程为x^2/2+y^2=1
(2)向量pf与向量pq共线，向量pf*向量mf=0
则p、q、f在同一直线上，pf⊥mf
设过f的直线方程pq为y=kx+k
则mn为y=-x/k-1/k
p(x1,y1)
q(x2,y2)
m(x3,y3)
n(x4,y4)
联立pq和椭圆方程得(2k^2+1)x^2+4k^2x+2k^2-2=0
则
x1+x2=-b/a=-4k^2/(2k^2+1)
联立mn和椭圆方程得(k^2+2)x^2+4x+2-2k^2=0
则x3+x4=-b/a=-4/(k^2+2)
椭圆上的点到左焦点的距离=(c/a)d=√2/2,
其中d为该点到左准线的距离即x=-a^2/c=-2
pq=(√2/2)*(x1+2+x2+2)=2√2(k^2+1)/(2k^2+1)
mn=(√2/2)*(x3+2+x4+2)=2√2(k^2+1)/(k^2+2)
s=pq*mn/2=4(k^2+1)^2/[(2k^2+1)(k^2+2)]=4/9[(2k^2+1)/(k^2+2)+(k^2+2)/(2k^2+1)+2]
≥4/9(2+2)=16/9当且仅当2k^2+1=k^2+2即k^2=1时取等号
【利用了3(k^2+1)=(2k^2+1)+(k^2+2)】
s最小值为16/9

Answer 2

椭圆的方程是x2/4+y2/2=1吧，我就照这样做了（x2即x的平方）
设PQ坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)
MF＝a+ex=2+（（根号2）／2）＊1
又因为等差数列得2MF＝FP+FQ=(a+ex1)+(a+ex2)=2a+e(x1+x2)
MF代入得x1+x2=2
设PQ中点为S，坐标即为（1，t)，2t＝y1+y2
由点差法求得（y1-y2)/(x1-x2)=-1/(y1+y2)=-1/(2t)
则PQ为y=(-1/2t)(x-1)+t，则PQ垂直平分线为y=2t(x-1)+t
所以当x-1=-1/2时即x=1/2时恒有y=0
所以定点A为（1/2,0）
用手机打的，很累的，还有什么不懂的可以问，不过相信你应该已经解决了吧，提问好几天了呢^
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