Question

已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),其中x,y∈R且f(1)等于1/2.

(1)若n∈N°时，求f(n)的表达式: (2)设an=f(n)(n∈N°)，求证:a1+a2+..+an＜1; (3)设bn=nf(n+1)/f(n)，n∈N°，Sn=b1+b2+...+bn,求1/S1+1/S2+...+1/Sn。

Answer 1

1
f(x+y)=f(x)f(y)
令y=1
f(x+1)=f(x)*f(1)=f(x)/2,这是等比数列
f(n)=(1/2)^n
an=(1/2)^n
2
前n项和
a1+a2+..+an=1-(1/2)^n
因为(1/2)^n>0
所以a1+a2+..+an<1
3
bn=nf(n+1)/f(n)=n/2是等差数列
sn=n(n+1)/4
1/sn=4/n(n+1)=4[1/n-1/n+1]
1/S1+1/S2+...+1/Sn=4[1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/n+1]
=4[1-1/n+1]
=4n/(n+1)
不过我认为最后这个题目可能有点问题，估计是bn=nf(n)/f(n+1)，这样的话就没有4倍