Question

椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）与直线X+Y-1=0相交于P,Q且向量OP⊥向量OQ

（1）求证1/a^2+1/b^2等于定值 （2）若椭圆的离心率e∈[√3/3，√2/2]，求椭圆长轴的取值范围。

Answer 1

解：第一问：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立椭圆方程和直线方程消去y并化简整理可得：(a^2+b^2)*x^2-2*a^2*x+a^2-a^2*b^2=0
易知P和Q点的横坐标即为上述方程的两根，所以由韦达定理可得：
x1+x2=2*a^2/(a^2+b^2)
---(1)；
x1*x2=(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)
---(2)
又可得y1*y2=(-x1+1)*(-x2+1)=1-(x1+x2)+x1*x2=...=(b^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)
---(3)
由向量OP⊥向量OQ可得：(y1/x1)*(y2/x2)=-1，即：x1*x2+y1*y2=0
---(4)
将(2)(3)式代入(4)式整理可得：(a^2+b^2-2*a^2*b^2)/(a^2+b^2)=0
===>a^2+b^2-2*a^2*b^2=0
===>(a^2+b^2)/(a^2*b^2)=2
===>1/a^2+1/b^2=2（定值）
证毕。
第二问就是简单的函数关系了：由第一问已得1/a^2+1/b^2=2，设椭圆焦距为c，
则有：a^2-b^2=c^2，且e=c/a
将上面三式联立消去b和c得到a与e的关系式为：
a=f(e)=(1/√2)*√[1+1/(1-e^2)]，e∈[√3/3，√2/2]，
--->f(e)为以e为自变量的函数。
f'(e)=(1/√2)*e/{[(1-e^2)^2]*√[1+1/(1-e^2)]}
---(这是求导，如有不理解欢迎追问。)
显然f'(e)>0，即f(e)是以e为自变量的定义域内的增函数。
所以f(√3/3)<=f(e)<=f(√2/2)，
即√5/2<=a<=√6/2。