设A为n阶矩阵,a为n维列向量,若Aa≠0,但A²a=0,证明:向量组a,Aa线性无关
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设 k1a + k2Aa = 0 (*)
等式两边左乘A得
k1Aa + k2A^2a = 0
由 A^2a = 0 知 k1Aa = 0
再由 Aa≠0 知 k1 = 0
代入(*)式得 k2Aa = 0
同理得 k2=0.
所以 k1=k2=0
所以 向量组a,Aa线性无关
等式两边左乘A得
k1Aa + k2A^2a = 0
由 A^2a = 0 知 k1Aa = 0
再由 Aa≠0 知 k1 = 0
代入(*)式得 k2Aa = 0
同理得 k2=0.
所以 k1=k2=0
所以 向量组a,Aa线性无关
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