Question

(1+x)^n泰勒展开式是什么?

Answer 1

令f(x)=ln(1+x)，则：

f(x)的k阶导数为fk(x)=（k-1)!(-1)^(k+1)/(1+x)^k; (k-1)的阶乘，乘以-1的k+1次方，除以（1+x)的k次方。

f(x)=f(x0)+∑fk(x0)(x-x0)^k/k!(k=1，2，3……）.

x0可取f(x)定义域内的任意数，根据需要选择.如x0=0，则上式为f(x)在x=0处的泰勒展开式。

泰勒公式定义：

一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。