Question

设a为n阶矩阵,且a^3=0,证明e-a及e+a都是可逆矩阵

Answer 1

A^3=0
A^3+E = E
(A+E)(A^2-A+E) = E
所以A+E可逆,且 (A+E)^-1 = A^2-A+E
同样可得 (A-E)(A^2+A+E) = -E.
所以 A-E 可逆,且 (A-E)^-1 = -(A^2+A+E).