Question

设A，B均为N阶矩阵，且AB=BA，证明：如果A，B都相似于对角阵，则存在可逆矩阵P使P^-1AP

Answer 1

问：设A，B均为N阶矩阵，且AB=BA，证明：如果A，B都相似于对角阵，则存在可逆矩阵P使P^-1AP

答：S^-1AS=C=diag(a1*I1,a2*I2,...,ar*Ir)分为r块，每块特征值相同,Ii都是单位阵SCS^-1B=AB=BA=BSCS^-1,左乘S^-1，右乘S，得CS^-1BS=S^-1BSC，记G=S^-1BS，那么CG=GC 因为C是对角阵，而G与C可交换，易知G=diag(G1,G2,...,Gr)是块对角阵，Gi与Ii同阶再将Gi进行对角化，即存在可逆阵Ti，使得Ti^-1*Gi*Ti=Di是对角阵记T=diag(T1,T2,...,Tr)是块对角可逆阵于是T^-1GT=diag(D1,D2,...,Dr)=D是对角阵即T^-1S^-1BST=D而T^-1S^-1AST=T^-1CT因为C是对角阵，T是与C形状相同的块对角阵，因此CT=TC 于是T^-1S^-1AST=T^-1CT=T^-1TC=C记P=ST是可逆阵 便有P^-1AP=C，P^-1BP=D 同时化为了对角阵