Question

偏导数的证明

Answer 1

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问题描述:

r=(x^2+y^2+z^2)1\2

证明：r(xx)+r(yy)+r(zz)=2\r

要过程！

解析:

对x的一阶导数

r(x)=(1/2)*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)*2x

=x*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)

对y的一阶导数

r(y)=y*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)

对z的一阶导数

r(z)=z*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)

二阶偏导函数

r(xx)=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-(1/2)x*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)*2x

=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-x^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)

r(yy)=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-y^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)

r(zz)=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-z^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)

r(xx)+r(yy)+r(zz)=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-x^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2) +(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-y^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2) +(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-z^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)

=3(x^2+y^2+z^2)(-1/2)-(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)*(x^2+y^2+z^2)^(-1)

=3(x^2+y^2+z^2)(-1/2)-(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)

=2(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)

=2/r