Question

六计算+ln(1-2x-3x^2)+在x-0+处的下级数展开式,并指出收敛域

Answer 1

问：六计算+ln(1-2x-3x^2)+在x-0+处的下级数展开式,并指出收敛域

答：亲，您好！很高兴为你解答！正解如下哦：六计算+ln(1-2x-3x^2)+在x-0+处的下级数展开式,并指出收敛域如下：给定的表达式为:f(x)=6计算+ln(1-2x-3x^2)在x=0处对该表达式求下级数展开,过程如下:1. 将ln(1-2x-3x^2)化为指数形式:ln(1-2x-3x^2) = ln(1-2x) + ln(1-3x^2)= ln((1-2x)/(1+2x)) + ln((1-3x^2)/(1+3x^2)) = 2arctan(2x) + 2arctan(3x)2. 对x=0处的arctan(2x)和arctan(3x)采用下级数展开:arctan(2x) = 2x + o(x^2) arctan(3x) = 3x + o(x^2)3. 代入原表达式,在x=0处下级数展开式为:f(x) = 6 + 2x + 3x + o(x^2) = 11x + o(x^2)则在附近域x=0内,f(x)可以用11x来近似表示。收敛域:由于下级数展开中保留了o(x^2)项,所以在|x|充分小的区域内,下级数展开式可以收敛至原函数。取|x| < 0.5,则在区间(-0.5,0.5)内,下级数展开式11x可以收敛至原表达式f(x)的值。所以,原表达式f(x)=6计算+ln(1-2x-3x^2)在x=0处的下级数展开式为:11x + o(x^2)收敛域为(-0.5,0.5)

答：相关拓展：收敛域，外文名Domain of Convergence，是高等数学中的一个名词。定义如果给定一个定义在区间I上的函数列那么由这函数列构成的表达式称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。