Question

正交矩阵的特征值一定为1吗？

Answer 1

一定等于1或-1。

证明如下：

设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量，即有 Ax = λx,且 x≠0。两边取转置，得 x^TA^T = λx^T 所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx，因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E，所以 x^Tx = λ^2x^Tx，由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数，故 λ^2=1，所以 λ=1或-1。

如果：AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件 :

1、AT的各行是单位向量且两两正交。

2、AT的各列是单位向量且两两正交。

3、(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R。

4、|A|=1或-1。

5、正交矩阵通常用字母Q表示。

正交矩阵的作用

数值分析自然的利用了正交矩阵的很多数值线性代数的性质。例如，经常需要计算空间的正交基，或基的正交变更；二者都采用了正交矩阵的形式。有行列式±1和所有模为1的特征值是对数值稳定性非常有利的。

一个蕴涵是条件数为1(这是极小的)，所以在乘以正交矩阵的时候错误不放大。很多算法为此使用正交矩阵如Householder反射和Givens旋转。有帮助的不只是正交矩阵是可逆的，还有它的逆矩阵本质上是免花费的，只需要对换索引(下标)。

置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点(partialpivoting)的运算繁重的高斯消去法(这里的置换用来定支点)。但是它们很少明显作为矩阵出现；它们的特殊形式允许更有限的表示，比如n个索引的列表。