反函数存在的条件是什么?

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baochuankui888
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2023-08-07 · 醉心答题,欢迎关注
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(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;

(2)函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的;

(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;

(4)偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.

扩展资料:

反函数存在定理

定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1<x2时,有y1<y2,则称y=f(x)在D上严格单调递增;当x1<x2时,有y1>y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性,对D中任一x'<x,都有y'<y;任一x''>x,都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2,设y1<y2。而因为f存在反函数f-1,所以有x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2,即当y1<y2时,有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

如果f在D上严格单减,证明类似。

参考资料:百度百科——反函数

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