Question

定积分比较大小的问题

教材上说如果函数f、g在[a,b]可积，并且f≥g在[a,b]上成立，那么
∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx (用∫ab表示定积分了)

我想问的是

若函数f、g在[a,b]可积，并且f>g在[a,b]上成立，那么
∫abf(x)dx>∫abg(x)dx 是否成立？？

如果不成立请帮忙举出一个反例
若函数f、g在[a,b]可积，并且f>g在[a,b]上成立，那么
∫abf(x)dx>∫abg(x)dx,我主要是想问，是不是总是严格的大于，而不会有相等的情况呢

Answer 1

　　比较定积分大小的答题方法：
　　1）两两相减，判断其正负；
　　2）将比较定积分的大小转化为比较相应被积函数的大小；
　　3）将积分区间切分，判断其在不同区间上的积分值的大小；
　　4）利用函数的正负性、单调性、奇偶性、周期性，判断其积分值的大小；
　　5）利用定积分的性质和计算方法（换元法，分部积分法等），判断其大小。

Answer 2

成立，只要两函数积分存在，证明不会在电脑上写，你去找老师要证明吧 。大略思路：

先做差，得函数f-g恒大于零；如果命题不成立，则有f-g几乎处处为0，矛盾，故命题成立。

如果f-g连续，直接用中值定理，容易多了。