Question

已知:√（a-1）²+√（a-6）²=10-|b+3|-|b-2|，求a²+b²的最大值

已知:√（a-1）²+√（a-6）²=10-|b+3|-|b-2|，求a²+b²的最大值左边的式子都是根号下，即根号下（a-1）²加上根号下（a-6）²

Answer 1

√（a-1）²+√（a-6）²=10-|b+3|-|b-2|
=>
√（a-1）²+√（a-6）²+|b-2|+|b+3|=10
=>
( |a-1|+|a-6| )+( |b-2|+|b+3| )=10
=>上面两个括号分别考虑
以左边的( )为例 它表示数轴上到1和6的距离之和 那么我们先看看它的取值有何特点
到点a落在数轴上[1,6]上,|a-1|+|a-6|是定值且值为6-1=5,而落在[1,6]外则比5大,离1或6越远越大
同理 右边括号也这样考虑 点b落在[-3,2]上右边( )的值为定值5,而落在[-3,2]外则比5大,离-3或2越远越大
=>
现在这两个括号的值的和是10 那么只能两个都是5了 不然因不能小于5 假设一个大于5 则另一个必小于5 矛盾 故只能都是5
=>那么
a的取值范围是[1,6],b的取值范围是[-3,2]
要使a^2+b^2最大 显然a取6,b取-3
所求为6^2+(-3)^2=45

Answer 2

解:√（a-1）²+√（a-6）²=10-|b+3|-|b-2|，
|a-1|+|a-6|+|b+3|+|b-2|=10
|a-1|+|a-6|≥|(a-1)-(a-6)|=5 (1≤a≤6时取等号）
|b+3|+|b-2|≥|(b+3)-(b2)|=5 (-3≤b≤2时取等号）
所以1≤a≤6，-3≤b≤2
a²+b²的最大值 =6²+（-3）²=36+9=45