Question

若整数a,b,c满足三分之二十的a次方乘十五分之八的b次方乘十六分之九是c次方=4，求a,b，c的值

Answer 1

(20/3)^a*(8/15)^b*(9/16)^c=4
解：(20/3)^a=[(5*2*2)/3]^a
(8/15)^b=[8/(5*3)]^b
(9/16)^c=[(3*3)/(2*8)]^c
因此
(20/3)^a*(8/15)^b*(9/16)^c
=[(5*2*2)/3]^a*[8/(5*3)]^b*[(3*3)/(2*8)]^c
=(5^a*2^2a*8^b*3^2c)/(3^a*5^b*3^b*2^c*8^c)(分子分母分别相乘)
=5^(a-b)*3^(2c-a-b)*8^(b-c)*2^(2a-c)
=5^(a-b)*3^(2c-a-b)*2^3(b-c)*2^(2a-c)
=5^(a-b)*3^(2c-a)*2^(2a+3b-4c)
=4
由a、b、c为整数可得(a-b)、(2c-a-b)和(2a+3b-4c)也为整数.

3和5为奇数，它们的整数次方不可能为偶数4，因此它们的指数一定为0,
那么2的指数一定为2

即a-b=0，2c-a=0，2a+3b-4c=2

解三个方程可得：
a=b=c=2

Answer 2

由(20/3)^a*(8/15)^b*(9/16)^c=4
解得：(20/3)^a=[(5*2*2)/3]^a
(8/15)^b=[8/(5*3)]^b
(9/16)^c=[(3*3)/(2*8)]^c
∴ (20/3)^a*(8/15)^b*(9/16)^c
=[(5*2*2)/3]^a*[8/(5*3)]^b*[(3*3)/(2*8)]^c
=(5^a*2^2a*8^b*3^2c)/(3^a*5^b*3^b*2^c*8^c)(分子分母分别相乘)
=5^(a-b)*3^(2c-a-b)*8^(b-c)*2^(2a-c)
=5^(a-b)*3^(2c-a-b)*2^3(b-c)*2^(2a-c)
=5^(a-b)*3^(2c-a)*2^(2a+3b-4c)
=4
又∵a、b、c为整数∴(a-b)、(2c-a-b)和(2a+3b-4c)也为整数.

∵3和5为奇数，它们的整数次方不可能为偶数4 ∴它们的指数一定为0,
那么2的指数一定为2
即a-b=0，2c-a=0，2a+3b-4c=2
解三个方程可得：
a=b=c=2

Answer 3

20/3)^a*(8/15)^b*(9/16)^c=4
解：(20/3)^a=[(5*2*2)/3]^a
(8/15)^b=[8/(5*3)]^b
(9/16)^c=[(3*3)/(2*8)]^c
因此
(20/3)^a*(8/15)^b*(9/16)^c
=[(5*2*2)/3]^a*[8/(5*3)]^b*[(3*3)/(2*8)]^c
=(5^a*2^2a*8^b*3^2c)/(3^a*5^b*3^b*2^c*8^c)(分子分母分别相乘)
=5^(a-b)*3^(2c-a-b)*8^(b-c)*2^(2a-c)
=5^(a-b)*3^(2c-a-b)*2^3(b-c)*2^(2a-c)
=5^(a-b)*3^(2c-a)*2^(2a+3b-4c)
=4
由a、b、c为整数可得(a-b)、(2c-a-b)和(2a+3b-4c)也为整数.

3和5为奇数，它们的整数次方不可能为偶数4，因此它们的指数一定为0,
那么2的指数一定为2

即a-b=0，2c-a=0，2a+3b-4c=2

解三个方程可得：
a=b=c=2