Question

急！求解关于数列的应用题2道

1.等差数列｛An｝，An＞0，A1=3.前n项和为Sn.｛Bn｝为等比数列，b1=1，b2s2=64，b3s3=960.
（1）求An及Bn.
（2）求1/b1+1/b2+……+1/bn.

2.设数列｛An｝的前n项和Sn=3n²,｛Bn｝为等比数列，a1=b1.b2(a2-a1)=b1.
(1)求an,bn
(2)设Cn=an/bn,求｛Cn｝的前n项和Tn.

Answer 1

1.等差数列｛An｝，An＞0，A1=3.前n项和为Sn.｛Bn｝为等比数列，b1=1，b2S2=64，b3S3=960.
（1）求An及Bn.
（2）求1/b1+1/b2+……+1/bn.

（1）
设An的公差为d，An=3+(n-1)d, A2=3+d,A3=A2+d=3+2d
S2=3+(3+d)=6+d
S3=3+(3+d)+(3+2d)=9+3d
设Bn的公比为q,b2=q ,b3=q² Bn=q^(n-1)
所以知b2S2=64代入得 q(6+d)=64①
b3S3=960 代入得 q²(9+3d)=960②
①²÷②得 (6+d)²/(9+3d)=64²/960=4096/960
即960(d²+12d+36)=4096(9+3d)
960d²-768d-2304=0
5d²-4d-12=0
(5d+6)(d-2)=0 得d=2或者-6/5
当d=2时, q=64/(6+2)=8
当d=-6/5时,q=64/(6-6/5)=40/3

所以：有两种解
1.An=3+2(n-1) Bn=8^(n-1)
2.An=3-6(n-1)/5 Bn=(40/3)^(n-1)

(2)
1/bn÷1/bn-1=bn-1/bn=1/q
它为一个公比为1/q的等比数列
由等比数列的前N项和知
公比为1/q，首项为1等比数列前N项和为
(a1-k^n)/(1-k)令k=1/q得
(1-1/q^n)/(1-1/q)
代入q=8得
(1-1/8^n)/(1-1/8)=8(1-1/8^n)/7
代入 q=40/3得
[1-1/(40/3)^n]/[1-3/40]=40(1-3^n/40^n)/37

2.设数列｛An｝的前n项和Sn=3n²,｛Bn｝为等比数列，a1=b1.b2(a2-a1)=b1.
(1)求an,bn
(2)设Cn=an/bn,求｛Cn｝的前n项和Tn.

(1)
An=Sn-Sn-1=3n²-3(n-1)²=3(2n-1)=6n-3
An-An-1=(6n-3)-(6n-9)=6
An为等差数列
首项为A1=6-3=3
公差为6
A2=9
A1=b1=3
b2/b1=q=1/(a2-a1)=1/d=1/6
所以bn为首项是3，公比为1/6的等比数列
Bn=3*(1/6)^(n-1)

(2)Cn=an/bn=(6n-3)/[3*(1/6)^(n-1)]
=(2n-1)6^(n-1)
=2n*6^(n-1)-6^(n-1)
后面的为等比数列，它的前n项和好算，只要算出前面的和
设Vn=2n*6^(n-1)
则V(n-1)=2(n-1)*6^(n-2)

Vn=6V(n-1)=6V(n-1)+2*6^(n-1)
...
V2=6V1+2*6
V1=2*1=2*6^0
相加这些式子得
V1+V2+...+V(n-1)+Vn=2*(6^0+6^1+6^2+...+6^(n-1))+6(V1+V2+...+V(n-1))
设Vn的前n项和为Pn
有Vn+P(n-1)=6P(n-1)+2*[1-6^(n-1)]/(1-6)
Vn=5P(n-1)+2*[6^(n-1)-1]/5
P(n-1)={Vn-2*[6^(n-1)-1]/5}/5
={2n*6^(n-1)-2*[6^(n-1)-1]/5}/5
Pn={2(n+1)*6^n-2*[6^n-1]/5}/5
-6^(n-1) 它的前n项和为:
-(1-6^n)/(1-6)
所以总体的和为
Pn-(1-6^n)/(1-6)
={2n*6^(n-1)-2*[6^(n-1)-1]/5}/5-(6^n-1)/5
=2n*6^(n-1)/5-32*6^(n-1)/25+3/25

思路正确，你最好再看下对不对，
这种数列叫差比数列吧。具体的你可以问下老师关于差比数列的性质。