Question

矩阵A与B相似，则A与B的伴随矩阵也相似，请问如何证明

矩阵A与B相似，则A与B的伴随矩阵也相似，请问如何证明

Answer 1

A，B相似，则存在可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP

则B*=(P^(-1)AP)*=P*A*(P^(-1))*

=P*A*(P*)^(-1)

因此B*与A*相似

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

1、 求出全部的特征值；

2、对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

3、上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

扩展资料：

当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

参考资料来源：百度百科--相似矩阵

Answer 2

A,B相似，则存在可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP

则B*=(P^(-1)AP)*=P*A*(P^(-1))*
=P*A*(P*)^(-1)
因此B*与A*相似

追问

麻烦再问下，这是不是也表明了A,B的伴随矩阵相似不需要A,B为可逆矩阵

Answer 3

简单计算一下，答案如图所示

Answer 4

A与B相似，则A的逆矩阵与B的逆矩阵也相似，A伴随等于A的逆矩阵乘以A的行列式，又因为A的多项式与B的多项式相似，且A的逆矩阵与B的逆矩阵也相似，故A的逆矩阵的多项式与B的逆矩阵的多项式也相似，所以A的逆矩阵乘以A的行列式与B的逆矩阵乘以B的行列式相似，即A伴随相似与B伴随