Question

你知道什么是量子吗？你知道什么是量子比特吗？

Answer 1

下面这句话，用的就全是专业概念：“基于量子叠加原理，一个量子比特可以同时处于0状态和1状态。” 　说得明确一点就是，n个量子比特能存储2的n次方个比特的信息。奇妙的是，说这番话的不是民科，而是2016年以来大火的《宝宝的物理学》系列的作者克里斯·费利（Chris Ferrie）博士型衡。这是他在《宝宝的量子信息学》里写的。他甚至还做了一个幽默的比喻：为了存储我最喜欢的一个分子（咖啡因）的信息，就需要地球上所有的手机！ 

下面我们来从头解释起。 

　　量子比特是什么？ 

“比特”是计算机科学的基本概念，指的是一个体系有且仅有两个可能的状态，一般用“0”和“1”来表示。典型的例子，如硬币的正、反两个面或者开关的开、关两个状态。 

但在量子力学中，有一条基本原理叫做“叠加原理”：如果两个状态是一个体系允许出现的状态，那么它们的任意线性叠加也是这个体系允许出现的状态。 

现在问题来了，什么叫做“状态的线性叠加”？为了说清楚这一点，最方便的办法是用一种数学符号表示量子力学中的状态，就是在一头竖直一头尖的括号“|>”中填一些表示状态特征的字符。这种符号是英国物理学家狄拉克发明的，称为“狄拉克符号”。 　在量子信息中，经常把两个基本状态写成|0>和|1>。而|0>和|1>的线性叠加，就是a|0> + b|1>，其中a和b是两个数，这样的状态称为“叠加态”。“线性”意味着用一个数乘以一个状态，“叠加”意味着两个状态相加，“线性叠加”就是把两个状态各自乘以一个数后再加起来。

现在，你明白“一个量子比特可以同时处于0状态和1状态”是什么意思了卜耐做吧？它实际是说，量子比特可以处于|0>和|1>的叠加态。在一个时刻只会处于一个这样的确定的状态，既不是同时处于两个状态，也不是迅速在两个状态之间切换，也不是处于一个不确定的状态，更不是时空分裂。

不得不说，“同时处于0状态和1状态”是一个很容易令人糊涂的说法，好像禅宗的打机锋，远不如旋钮的比喻清楚易懂。更糟糕的是，读者可能会以为自己懂了，然后胡乱引申，造成更大的误解。在科普文章中，类似这样的令人似懂非懂的说法太多了，简直是遍地陷阱。

那么，为什么许多人言之凿凿地说，n个量子比特包含2的n次方个比特的信息？ 

要让这句话有意义，关键在于：把a|0> + b|1>中的a和b这两个系数，当作两个比特的信息。这当然不是个严格的说法，因为把连续变量和离散变量混为一谈了。不过只要你姑且接受这种表述，你就可以明白，他们实际想说的是，“n个量子比特包含2的n次方个系数”，这就是正确的了。 

这是怎么算出来的？ 

对于一个量子比特，n = 1，体系可以取的状态是a|0> + b|1>，有a和b两个系数，系数的个数等于2的1次方。 

对于两个量子比特，n = 2，体系可以取的状态是……是什么？ 

你也许会觉得，第一个量子比特的状态是a1|0> + b1|1>，第一个量子比特的状态是a2|0> + b2|1>，总共有4个系数。 

错了！按照这种方式，当你有第三个量子比特时，只是增加a3|0> + b3|1>的两个系数，总共有6个系数。广而言之，每个量子比特提供两个系数，所以n个量子比特包含的系数个数就是2n，怎么会是2的n次方呢？ 

真正的关键在于，对于多量子比特的体系，基本的描述方式并不是“第一个量子比特处于某个态，第二个量子比特处于某个态……”，而是“系统整体处于某个态”。 

系统整体可以处于什么态呢？再次回忆叠加原理（敲黑板）！是的，叠加原理对多粒子体系也适用。 所以，我们要做的就是找出多粒子体系可以处于的基本状态，而这些多粒子基本状态是由单粒子的|0>态和|1>态组合而成的。下面我们来看这些基本状态。 

首先，你可以让每一个量子比特都处于自己的|0>态，这时系统整体的状态是所有这n个|0>态的直接乘积（称为“直积”），可以简写为|000…>，狄拉克符号里有n个“0”。 

然后，在这个态的基础上，你可以让第一个量子比特变成自己的|1>态，这时系统整体的状态是|100…>，这也是一个直积态。 

然后，在|000…>的基础上，你可以让另一个量子比特（比如说第二个）变成自己的|1>态，这时系统整体的状态是|010…>。这样，你可以走遍所有的由n-1个“0”和1个“1”组成的字符串。 

然后，在|000…>的基础上，你可以让两个量子比特变成自己的|1>态。这样，你可以走遍所有的由n-2个“0”和2个“1”组成的字符串。 

这个亩谨过程继续下去，最终你会把所有的量子比特都变成自己的|1>态，得到由n个“1”表示的|111…>这个态。在这个过程中，你得到了所有的由“0”和“1”组成的长度为n的字符串。 

这样的态总共有多少个呢？第一位有2种选择，第二位也有2种选择，一直到第n位都是2种选择。所有这些选择乘起来，就是2的n次方种选择。注意是相乘，而不是相加。在高中学过排列组合、二项式定理的同学们，肯定都看明白了吧？

机智如我，早已看穿了一切。

顺便说一下，这样的一个n粒子状态，有可能可以表示成n个单粒子状态的乘积，这时我们称它为“直积态”，但更常见的是不能表示成n个单粒子状态的乘积，这时我们称它为“纠缠态”。作为一个简单的例子，二粒子体系的(|00> + |11>) / √2就是一个纠缠态。你可以试着证明一下，很容易的~