Question

题目 为什么A的特征值之和等于主对角线上的元素之和,行列式的值为什么等于所有特征值之积?怎么证明?

求大神

Answer 1

设矩阵A的特征多项式为f(t) = det (tI - A) //det表示行列式，I表示单位矩阵，t是数将f(t)展开，按t的降幂排列：

f(t) = a[n] * t^n + a[n-1] * t^(n-1) + ... + a[0] //a[i]表示下标为i

事实上，观察f(t)对应的行列式可以发现，t的n次幂只有主对角线元素相乘才能组成，因此我们可以立刻得出结论：a[n]=1；

由Vieta定理可知，a[n-1]=t[1]+t[2]+……+t[n]，a[0]=(-1)^n*t[1]*t[2]*……*t[n]。

例如：A=[1, 1, 0]，那么f(t)=|-1, t-1, 0| ，只有取(t-1)(t-1)(t-1)这一项里面才有t²出现，其它取法都[0, 0, 1] |0, 0, t-1|由上面正确而不严谨的结论可以知道，a[n-1]=主对角元元素之和=特征值之和；至于后一结论，取t=0，则f(0) = (-1)^n*det A，因此a[0]=det A=特征值之积。

扩展资料：

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是A属于特征值λ的特征向量。

参考资料来源：百度百科-特征值

Answer 2

我把矩阵论里面关于这个的证明贴出来，要是不懂可以问我