Question

已知实数X+Y+Z=3,X^2+Y^2+Z^2=9,求Y-X的最大值？

Answer 1

根据条件，x,y,z是半径为3的球和x+y+z=3的平面相交得到的圆的点集。这个圆是过（3，0，0），（0，3，0），（0，0，3）的外接圆，半径为sqrt(6).将这个圆投影到x,y平面，就变成了长为sqrt(6),宽为sqrt(6)/2的椭圆，于是y-x的最大值就是与椭圆相切的y=x+a的a值。可以算出来这跟切线就是y=x向左上角45度角平移sqrt(6)的线。与y轴的交点就是sqrt(6)*sqrt(2)=2sqrt(3)。如图

Answer 2

分享一种解法。∵(x+y+z)²=x²+y²+z²=9，∴xy+xz+yz=0，即xy+(x+y)z=xy+(3-z)z=0.
∴xy=z²-3z①。
而，(y-x)²=x²+y²-2xy，将①代入，(y-x)²=(9-z²)-2(z²-3z)=3[4-(1-z)²]≤12，∴y-x的最大值为2√3。
供参考。

Answer 3

设y-x=k,则y=x+k,
所以x+y+z=2x+k+z=3,z=3-2x-k,
所以x^2+y^2+z^2=x^2+(x+k)^2+(3-2x-k)^2=9,
整理得6x^2+(6k-12)x+2k^2-6k=0,
x是实数，
所以△/12=3（k-2)^2-4(k^2-3k)=-k^2+12>=0
k^2<=12,
-2√3<=k<=2√3，
所以所求最大值是2√3.

Answer 4

解题思路见图