Question

lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=?其中x>0

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

当x>e时
f(x)=limlnx(1+(e/x)^n)^(1/n)=lnx+limln(1+(e/x)^n)^(1/n)=lnx
当x>e时f(x)=limlne(1+(x/e)^n)^(1/n)=1+limln(1+(x/e)^n)^(1/n)=l
当x=e时
f(x)=ln2e^n/n=1
讨论一下定义域，是连续的

Answer 3

利用罗密他法则
当e＞x>0时
lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+x^nlnx﹚／﹙e^n+x^n﹚]
﹙罗比达，无穷大﹚
=lim(n->无穷)[﹙1+﹙x／e﹚^nlnx﹚／﹙1+﹙x／e﹚^n﹚]
﹙
无穷小﹚
=1／1=1
当x＞e>0时
lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+x^nlnx﹚／﹙e^n+x^n﹚]
﹙罗比达，无穷大﹚
=lim(n->无穷)[﹙1+﹙x／e﹚^nlnx﹚／﹙1+﹙x／e﹚^n﹚]
﹙罗比达，无穷大﹚
=lnx
当x=e时
lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+e^nlne﹚／﹙e^n+e^n﹚]
﹙罗比达，无穷大﹚
=lim(n->无穷)[﹙2e^n﹚／﹙2e^n﹚]
=1