已知abc均为正数a+b+c=1求证1/a的平方+1/b的平方+1/c的平方≥27
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用基本不等式。
27a +27a +1/a²≥3·³√(27a·27a·1/a²)=27
27b +27b +1/b²≥3·³√(27b·27b·1/b²)=27
27c +27c +1/c²≥3·³√(27c·27c·1/c²)=27
三式相加，得
54(a+b+c) +1/a² +1/b² +1/c² ≥81
又a+b+c=1
从而 1/a² +1/b² +1/c² ≥27
27a +27a +1/a²≥3·³√(27a·27a·1/a²)=27
27b +27b +1/b²≥3·³√(27b·27b·1/b²)=27
27c +27c +1/c²≥3·³√(27c·27c·1/c²)=27
三式相加，得
54(a+b+c) +1/a² +1/b² +1/c² ≥81
又a+b+c=1
从而 1/a² +1/b² +1/c² ≥27
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