Question

（本小题满分14分）如图，在三棱锥 中， 底面 ，点 ， 分别在棱 上，且 （1）求证： 平面

（本小题满分14分）如图，在三棱锥 中， 底面 ，点 ， 分别在棱 上，且 （1）求证： 平面 ；（2）当 为 的中点时，求 与平面 所成的角的正弦值；（3）是否存在点 使得二面角 为直二面角？并说明理由.

Answer 1

（1）略 （2） （3）存在点E使得二面角7 是直二面角

解法1: （1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又 ，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC. （2）∵D为PB的中点，DE//BC， ∴ ， 又由（1）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB， ∴△ABP为等腰直角三角形，∴ ， ∴在Rt△ABC中， ，∴ . ∴在Rt△ADE中， ， （3）∵AE//BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC， 又∵AE 平面PAC，PE 平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角7 的平面角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴ . ∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时 ， 故存在点E使得二面角7 是直二面角. 解法2:如图，以A为原点建立空间直角坐标系 ， 设 ，由已知可得 . （1）∵ ， ∴ ，∴BC⊥AP. 又∵ ，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. （2）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点， ∴ ， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵ ， ∴ . ∴4 与平面1 所成的角的正弦值为 .