Question

f(x)在x=0连续，x趋近0时lim(x^2/f(x))=1，则下面正确的有？

A.f'(0)存在且f'(0)=0
B.f''(0)存在且f''(0)=2
C.x=0是f(x)的极小值点
D.f(x)在x=0的某领域内连续
答案是有两个对的，求正确原因或错误原因

Answer 1

1）由所给条件，可知 f(0)=0；再由
lim(x→0){[f(x)-f(0)]/x}/x = lim(x→0){[f(x)-f(0)]/(x^2) = 1，
又可知

lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x = 0，
即 f'(0) 存在且 f'(0) = 0，即 A 正确；
2）由于没有 f(x) 在 x≠0 的可微性的条件，所以得不到二阶导数的任何结论，故 B 不成立；
3）D 也不能成立，因为没有任何 x≠0 的信息；
4）条件告诉我们 f(x)~x^2(x→0)，所以 f(x) 和 x^2 在 x=0 附近有相近的性态，因而 C 正确。

追问

请问，对于D，假如不存在在x=0的邻域使得f(x)在上面连续，岂不是不存在lim(x->0)f(x)了（或者只存在单侧极限）？或者极限定义不要求在点x=0上的某“去心邻域”连续，亦或者是允许在任意去心邻域内无定义、或者有间断点？
此外，如果A正确，是否可以得出f(x)在x=0连续的结论？我注意到题目给出的条件lim(x^2/f(x))=1并非是单侧极限。
我似乎是这一点基础不太好，求教。

追答

对于 D ，要极限 lim(x->0)f(x)操作，没必要要求在x=0的邻域使得 f ( x )在上面连续。
f ( x )在x=0连续是已知条件。

Answer 2

lim(x->0) x^2/f(x) =1 (0/0)
=> f(0) =0
lim(x->0) x^2/f(x) =1 (0/0 分子分母分别求导)
lim(x->0) 2x/f'(x) =1 (0/0 分子分母分别求导)
=> f'(0) =0
lim(x->0) 2/f''(x) =1 (0/0 分子分母分别求导)
=>f''(0) =2 >0
ans :
A.f'(0)存在且f'(0)=0 : 对
B.f''(0)存在且f''(0)=2 ： 对
C.x=0是f(x)的极小值点 ：对
D.f(x)在x=0的某领域内连续 : 对