Question

如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心，OE长为半径的

如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心，OE长为半径的圆弧与DC的交点，点P是 EF 上的动点，连接OP并延长交直线BC于K．（1）当P从E点沿 EF 运动到F时，K运动了多少单位长度？（2）过点P作 EF 所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别交于M、G，①当K与B重合时，BG：BM=？②在P运动过程中，是否存在BG：BM=3的情况？若存在，求出BK的值；若不存在说明理由．

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Answer 1

（1）连接OE、OF，并延长OE、OF分别交直线BC于N、Q， 当P从点E运动到点F时，点K从点N运动到了点Q； ∵O、E分别为AD、AB的中点， ∴OA=AE=BE=1， 又∵∠A=∠EBN=90°，∠AEO=∠NEB， ∴△OAE≌△NBE，得OA=BN=1， 同理可得CQ=1； 故NQ=NB+BC+CQ=1+2+1=4，即点K运动了4个单位长度． （2）①当K、B重合时， ∵MG与弧EF所在的圆相切，且切点为P， ∴OB⊥MG， ∴∠BMP+∠OBA=∠BMP+∠BGM=90°， ∴∠OBA=∠BGM， 又∵∠MBG=∠OAB=90°， ∴△OAB ∽ △MBG，得： BG BM = BA OA ，由于BA=2OA，则BG：BM=2． ②存在BG：BM=3的情况，理由如下： 假设存在符合条件的P点，使得BG：BM=3，过K作KH⊥OA于H， 则四边形ABKH为矩形，有KH=AB=2； ∵MG与弧EF相切于点P， ∴OK⊥MG，且垂足为P， ∴∠1+∠2=90°； 又∵∠G+∠2=90°，则∠1=∠G； ∵∠OHK=∠GBM=90°， ∴△OHK ∽ △MBG， ∴ OH HK = BM BG = 1 3 ， ∴OH= 2 3 ，AH=BK= 1 3 ； ∴存在符合题意的K点，使得BG：BM=3； 同理可得：在线段BC、CD以及CB的延长线上，存在这样的点K′、M″、G′， 使得CK′= 1 3 ，CG′：CM″=3； 连接G′M″交AB于M′，则BG′：BM′=CG′：CM″=3； 此时BK′=BC-K′C=2- 1 3 = 5 3 ，即BK的值为 1 3 或 5 3 ．