Question

如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB

如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．

Answer 1

证明：延长CF、BA交于点M，
∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，
∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，
∴△BCE≌△CDF，
∴∠CBE=∠DCF．
∵∠DCF+∠BCP=90°，
∴∠CBE+∠BCP=90°，
∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．
又∵FD=FA，∠CDF=∠MAF，∠CFD=∠MFA，
∴△CDF≌△AMF，
∴CD=AM．
∵CD=AB，∴AB=AM．
∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，
∴AP=

1

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BM，
即AP=AB．