Question

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点． （1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点． （1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．

Answer 1

（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件；（2） ；（3）

试题分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件； （2）利用S 四边形AEDF =S △ AED +S △ ADF =S △ CFD +S △ ADF =S △ ADC ="9" 即可得到y与x之间的函数关系式； （3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到S △ ADF =S △ BDE 从而得到S △ EDF =S △ EAF +S △ ADB 即可确定两个变量之间的函数关系式． （1）∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点 ∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°     ∴AD=BD=DC ∵AE=CF ∴△AED≌△CFD（SAS）     （2）依题意有：FC=AE=x， ∵△AED≌△CFD ∴S 四边形AEDF =S △ AED +S △ ADF =S △ CFD +S △ ADF =S △ ADC =9      ∴S △ EDF =S 四边形AEDF -S △ AEF =9- (6-x)x= x 2 -3x+9 ∴ ； （3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45° ∴∠DAF=∠DBE=135°     ∴△ADF≌△BDE     ∴S △ ADF =S △ BDE ∴S △ EDF =S △ EAF +S △ ADB = (x-6)x+9= x 2 -3x+9 ∴ ． 点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.

Answer 2

（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件；（2） ；（3）
试题分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件；
（2）利用S 四边形AEDF =S △ AED +S △ ADF =S △ CFD +S △ ADF =S △ ADC ="9" 即可得到y与x之间的函数关系式；
（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到S △ ADF =S △ BDE 从而得到S △ EDF =S △ EAF +S △ ADB 即可确定两个变量之间的函数关系式．
（1）∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°
∴AD=BD=DC
∵AE=CF
∴△AED≌△CFD（SAS）
（2）依题意有：FC=AE=x，
∵△AED≌△CFD
∴S 四边形AEDF =S △ AED +S △ ADF =S △ CFD +S △ ADF =S △ ADC =9
∴S △ EDF =S 四边形AEDF -S △ AEF =9- (6-x)x= x 2 -3x+9
∴ ；
（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°
∴△ADF≌△BDE
∴S △ ADF =S △ BDE
∴S △ EDF =S △ EAF +S △ ADB = (x-6)x+9= x 2 -3x+9
∴ ．

Answer 3

因为∠BAC=90°，AB=AC=6所以ad垂直于bc且ad=dc，∠dcf=∠dae，要使△AED≌△CFD必须是fc=ea或者∠fdc=∠eda，要使这两个条件满足都是e.f都为中点才行，所以有且只有e.f都为中点时才会使△AED≌△CFD