Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．（1）若AB=AD=a，

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．（1）若AB=AD=a，直线PB与CD所成角为45°，①求四棱锥P-ABCD的体积；②求二面角P-CD-B的大小；（2）若E为线段PC上一点，试确定E点的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并说明理由．

Answer 1

（1）①∵AB∥CD，∴∠PBA是PB与CD所成的角，则∴∠PBA=45°
所以在直角三角形PAB中，PA=AB=a，
VP?ABCD＝

1

3

?PA?SABCD＝

1

2

a3．（3分）
②∵AB⊥AD，CD∥AB，
∴CD⊥AD，又PA⊥ABCD，
∴PA⊥CD，∴CD⊥PAD，
∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，
在直角三角形PDA中，PA=AD=a，
∴∠PDA=45°，即二面角P-CD-B为45⁰．（7分）
（2）当点E在线段PC上，且PE：EC=2：1时，
平面EBD垂直平面ABCD理由如下：
连AC、BD交于O点，连EO．
由△AOB∽△COD，且CD=2AB
∴CO=2AO∴PE：EC=AO：CO=1：2
∴PA∥EO．…（11分）
∵PA⊥底面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD．
又EO在平面EBD内，
∴平面EBD垂直于平面ABCD．…（13分）