Question

已知：如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与

已知：如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：AD=DB；（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；（3）当∠DEF=90°时，求BF的长.

Answer 1

（1）在⊿ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°. ∵ AD平分∠CAB， ∴∠DAB=30°.   ∴∠DAB=∠B， ∴AD=DB.             （2）在⊿AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=60°，∴∠AEF=30°. ∴ . 在Rt⊿ABC中，∵∠B=30°，AC=6，∴AB=12. ∴ . ∴                     （3）当∠DEF=90°时，∠CED=180°－∠AEF－∠FED=60°. ∴∠EDC=30°，ED=2x.                又∵∠EDA=∠EAD=30°，∴ED=AE=6－x. ∴有 2x=6－x，得x=2.                此时， . 即BF的长为10.

（1）利用直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，最后由等角对等边得出结论。 （2）利用直角三角形 所对的直角边等于斜边的一半， （3）利用（2）的结论，根据等角对等边得到方程求出x值，从而求出BF的长。

Answer 2

（1）
证明： ∵⊿ABC中，∠C=90°，∠B=30°
∴∠CAB=60°
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠DAB=30°
∴∠DAB=∠B
∴AD=DB
（2）
解：设CE=x，BF=y
则 y=AB-AF
∵⊿ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6
∴AB=12，∠CAB=60°
∵EF⊥AB
∴∠EFA=90°
∴∠AEF=30°
∴AF=AE/2
∵AE=AC-CE
∴AF=(6-x)/2
∴y=12-(6-x)/2
=(18+x)/2
(3)
解：∵∠C=90°,∠CAD=30°，AC=6
∴CD=2√3
∵∠DEF=90°
∴∠DEC=60°，∠DEC=30°
∴CE=2
即x=2
代入y=（18+x）/2
得y=10
即BF=10

Answer 3

Answer 4

（1）证明：在⊿ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°.

∵ AD平分∠CAB，

∴∠DAB=30°.  

∴∠DAB=∠B，

∴AD=DB.            

（2）解：在⊿AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=60°，∴∠AEF=30°.

∴.

在Rt⊿ABC中，∵∠B=30°，AC=6，∴AB=12.

∴.

∴                   

（3）解：当∠DEF=90°时，∠CED=180°－∠AEF－∠FED=60°.

∴∠EDC=30°，ED=2x.               

又∵∠EDA=180°-∠AED-∠EAD=30°=∠EAD，∴ED=AE=6－x.

∴有 2x=6－x，得x=2.               

此时，.

即BF的长为10.                     

（1）利用直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，最后由等角对等边得出结论。

（2）利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，

（3）利用（2）的结论，根据等角对等边得到方程求出x值，从而求出BF的长。