如何用数学归纳法证明。
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考虑函数f(x)=xlnx-x+1，x>0。
则f'(x)=lnx+1-1=lnx，令f'(x)=0得到x=1。
那么当0<x<1时，f'(x)<0即f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0即f(x)单调递增。
故f(x)在x=1处取极小值，也是最小值。
所以f(x)>=f(1)=0==>xlnx>=x-1。
但题设x≠1故等号不能取到，从而xlnx>x-1。#
则f'(x)=lnx+1-1=lnx，令f'(x)=0得到x=1。
那么当0<x<1时，f'(x)<0即f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0即f(x)单调递增。
故f(x)在x=1处取极小值，也是最小值。
所以f(x)>=f(1)=0==>xlnx>=x-1。
但题设x≠1故等号不能取到，从而xlnx>x-1。#
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