Question

抛物线y2=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB=2π3，弦AB的中点M在准线l上的射影为M′，则|MM′||AB

抛物线y2=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB=2π3，弦AB的中点M在准线l上的射影为M′，则|MM′||AB|的最大值为______．

Answer 1

解：如图，设AF=a（a＞0），BF=b（b＞0），
由抛物线定义，得2|MM′|=a+b．
在△ABF中，由余弦定理，得
|AB|²=a²+b²-2abcos

2π

3

=a²+b²+ab=（a+b）²-ab，
∵a＞0，b＞0，由基本不等式得：a+b≥2

ab

，
∴ab≤

(a+b)2

4

，
∴|AB|²≥

3

4

（a+b）²，
∴|AB|≥

3

2

（a+b）．
∴

|MM′|

|AB|

≤

3

3

．
∴

|MM′|

|AB|

的最大值为

3

3

．
故答案为：

3

3

．