Question

已知定义域为R的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数.(1)求a，b的值;(2...

已知定义域为R的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数. (1)求a，b的值; (2)判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性(不证明); (3)若对于任意t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0恒成立，求k的取值范围.

Answer 1

解答:解(1)∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)=0，b=1，
又f(-1)=-f(1)，得a=1，经检验a=1，b=1符合题意.
(2)由(1)知f(x)=
1-2x
2x+1
=-1+
2
2x+1
，
∵y=2x递增，
∴y=
2
2x+1
递减，
∴f(x)在R上是单调递减函数.
(3)∵t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0恒成立，
∴f(t2-2t)＜-f(2t2-k)，
又f(x)为奇函数，
∴f(t2-2t)＜f(k-2t2)，
∵f(x)为减函数，
∴t2-2t＞k-2t2，
即k＜3t2-2t恒成立，
而3t2-2t=3(t-
1
3
)2-
1
3
≥-
1
3
，
∴k＜-
1
3
.