Question

求1/(9+4x^2)的不定积分

Answer 1

∫1/√(9＋4x^2)dx= (1/2)ln|2x + √(9 + 4x²)| + C。C为常数。

解答过程如下：

令√(9 + 4x²) = √[9 + 9(4x²/9)] = √[9 + 9(2x/3)²] = √(9 + 9tan²θ) = √(9sec²θ) = 3secθ

设(2x/3) = tanθ，dx = (3/2)sec²θ dθ

原式= ∫ 1/(3secθ)•(3/2)sec²θ dθ

= (1/2)∫ secθ dθ

= (1/2)ln|secθ + tanθ| + C

= (1/2)ln| [2x + √(9 + 4x²)]/3 | + C

= (1/2)ln|2x + √(9 + 4x²)| + C

扩展资料：

用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）

Answer 2

令√(9 + 4x²) = √[9 + 9(4x²/9)] = √[9 + 9(2x/3)²] = √(9 + 9tan²θ) = √(9sec²θ) = 3secθ
设(2x/3) = tanθ，dx = (3/2)sec²θ dθ
原式= ∫ 1/(3secθ)•(3/2)sec²θ dθ
= (1/2)∫ secθ dθ
= (1/2)ln|secθ + tanθ| + C
= (1/2)ln| [2x + √(9 + 4x²)]/3 | + C
= (1/2)ln|2x + √(9 + 4x²)| + C

Answer 3

∫ dx / √(9＋4x²)
= ∫ dx / 3√[1＋(2x/3)²]
= ½ ∫ d(2x/3) / √[1＋(2x/3)²]
= ½ arcsinh(2x/3) + C
即
½ ln {2x/3 + √[1＋(2x/3)² ] } + C
= ½ ln { [2x + √(9＋4x²) ]/3 } + C
= ½ ln [2x + √(9＋4x²) ] - ½ ln3 + C
= ½ ln [2x + √(9＋4x²) ] + C'

Answer 4

∫1/(9+4x^2)dx
=1/2 ∫1/(9+(2x)^2)d2x
=1/2×1/3 ×arctan(2x/3)+c
=1/6 arctan(2x/3)+c