Question

求齐次方程的通解xy′-y-√(y²-x²)=0

Answer 1

齐次方程的通解xy′-y-√(y²-x²)=0为。

解：因为xy′-y-√(y²-x²)=0，

那么等式两边都除以x可得，

y'-(y/x)-√((y/x)²-1)=0

那么令y/x=m，则y=mx，

那么 y'=(mx)'=m'x+m

把y/x=m以及y'=m'x+m代入y'-(y/x)-√((y/x)²-1)=0可得，

m'x+m-m-√(m²-1)=0，即m'x-√(m²-1)=0

即dm/dx*x-√(m²-1)=0

则dm/√(m²-1)=dx/x，

积分可得， ln[m+√(m²-1)]=lnx+lnc=lncx

即√(m²-1)=cx-m

又m=y/x，那么

√((y/x)²-1)=cx-y/x

即y=(cx)²/2+1/(2c) (x>0)

扩展资料：

微分方程的解

1、一阶线性常微分方程的解

对于一阶线性常微分方程y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解为y=C(x)*e^(-∫p(x)dx)。然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

2、二阶常系数齐次常微分方程的解

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解。

对于二阶常系数齐次常微分方程y''+py'+qy=0，可求得其通解为y=c1y1+c2y2。

然后可通过其特征方程r^2+pr+q=0来求解二阶常系数齐次常微分方程的通解。

（1）当r1=r2，则有y=(C1+C2*x)e^(rx)，

（2）当r1≠r2，则有y=C1*e^(r1x)+C2*x*e^(r2x)

（3）在共轭复数根的情况下，y=e^(αx)*(C1*cos(βx)+C2*sin(βx))

参考资料来源：百度百科-微分方程

Answer 2

求微分方程xy'-y-√(y²-x²)=0的通解
解：方程两边同除以x(x>0)，得 y'-(y/x)-√[(y/x)²-1]=0.............(1)
令y/x=u，则y=ux..............(2)；
取导数得 y'=u'x+u.............(3)；
将(2)(3)代入(1)式得: u'x+u-u-√(u²-1)=0
化简得 u'x-√(u²-1)=0
分离变量得 du/√(u²-1)=dx/x
积分之得 ln[u+√(u²-1)]=lnx+lnc=lncx
故得u+√(u²-1)=cx
√(u²-1)=cx-u
平方去根号得 u²-1=c²x²-2cux+u²
化简得u=(c²x²+1)/(2cx)=(cx/2)+1/(2cx)
代入(2)式即得原方程的通解为：
y=(cx²)/2+1/(2c) (x>0)

Answer 3

引用wjl371116的回答：
求微分方程xy'-y-√(y²-x²)=0的通解
解：方程两边同除以x(x>0)，得 y'-(y/x)-√[(y/x)²-1]=0.............(1)
令y/x=u，则y=ux..............(2)；
取导数得 y'=u'x+u.............(3)；
将(2)(3)代入(1)式得: u'x+u-u-√(u²-1)=0
化简得 u'x-√(u²-1)=0
分离变量得 du/√(u²-1)=dx/x
积分之得 ln[u+√(u²-1)]=lnx+lnc=lncx
故得u+√(u²-1)=cx
√(u²-1)=cx-u
平方去根号得 u²-1=c²x²-2cux+u²
化简得u=(c²x²+1)/(2cx)=(cx/2)+1/(2cx)
代入(2)式即得原方程的通解为：
y=(cx²)/2+1/(2c) (x>0)

最后结果应该是y=(cx²)/2+1/(2c) (x>0)