Question

二元函数取的极值是两个偏导数＝0或偏导数不存在，那d选项为什么不对？

二元函数取的极值是两个偏导数＝0或偏导数不存在，那d选项为什么不对？例1

Answer 1

x确定为x0之后，二元函数变成了关于y的一元函数，用一元函数的极值定义，就是对y导数为0的点。

追问

可是对一元函数来说也可以是导数不存在的点啊 我还是不懂怎么就是确定x0了呢。。那不就是一个点么。真的不懂😭

追答

看清所有选项，前面都是x0，是不是？
f（x0，y）,只有一个未知数y。对应于平面上的x=x0，一条垂直于x轴的直线上的点。
从平面看，x=x0，不变，因此dx=0，
dz=[∂z/∂x]dx+[∂z/∂y]dy=[∂z/∂y]dy,
z'y=dz/dy=∂z/∂y.

追问

所以说只要确定了一点x0那么肯定是驻点，如果x0不确定那么可以是不存在的点或驻点，这样理解对吗？

追答

这要看教材对于"极值"的定义了。

极值的一种定义是：极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。
对于平面上的点，“邻域”可以理解为，该点“周围”的小区域；对于数轴上的点，“邻域”可以理解为该点“左右”的小范围。如果是连续可导，该点的导数（偏导数）必定是0.
对于定于域的边界（或区间端点），邻域是单侧的，此时导数不一定是0，不一定不存在，也不一定存在。
对于孤立不连续点，要考虑两侧。如=1/|x|，在x=0，是一个无限极大值点，导数不存在。
如果可导，狭义的极值点，指（偏）导数=0，且邻域内曲线（曲面）位于切线（切平面）同一侧的情形。其他的点，为区间端点（边界），间断点，导数不存在的点。极大极小值在这些点里面。

根据下面的常用定义：
极值的定义如下：
若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。
则，上面的所有点，都应该考虑。

Answer 2

大哥，这个前提条件都是可微函数了啊，偏导数肯定存在啊