Question

请问洛必达法则和等价无穷小有优先使用之类的先后顺序吗？

麻烦帮忙看一下，下图的洛必达法则使用有误吗？（图片拍小了，左边倒数第二行那个圆圈里面是1）

Answer 1

洛必达法则的使用条件：
1、分子分母都必须是可导的连续函数；
2、分子与分母的比值是0/0,或者是∞/∞,
如果是这两种情况之一,就可以使用.
使用时,是分子、分母,各求各的导数,互不相干.
各自求导后,如果依然还是这两种情况之一,继续使用洛必达法则,
直到这种情况消失,然后代入数值计算.1/∞ = 0,∞/常数 = ∞.
等价无穷小的代换：
1、如果只是简单的比值关系,才可以替代,例如当x→0时,ln(1+x) / x；
2、如果分式的分子分母中有加减运算,一般都不可以代换,
例如,分子上sinx - x,分母上x²,当x→0时,就不可以代换；
3、简单的加减运算也不可以代入,如1/sin²x - 1/tan²x,当x→0时,就不可以代换.
等价无穷小是无穷小的一种，指在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，故称这两个无穷小是等价的。等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，[1]也可看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。