Question

大学数学（高数）问题求教

刚学高数，老师有些地方没讲清楚，有点不懂。如图，第一题第二小题为什么是发散数列？然后想问一下求收敛数列极限的方法

Answer 1

求微分方程 x2y''+xy'=1的通解解：设y'=dy/dx=p，则y''=dy'/dx=dp/dx；代入原式得：x2(dp/dx)+xp=1..........①; 先求齐次方程：x2(dp/dx)+xp=0的通解：分离变量得：dp/p=-dx/x；积分之得：lnp=-lnx+lnc?=ln(c/x); 故p=c/x；将c换成x的函数u，得p=u/x......②；故p'=dp/dx=(xu'-u)/x2.........③ 将②③代入①式并化简得：xu'=1，即u'=1/x，即du=dx/x；故u=lnx+lnc?=ln(c?x).........④; 将④代入②式得：p=(1/x)ln(c?x)，即dy/dx=(1/x)ln(c?x); dy=(1/x)ln(c?x)dx; 积分之即得通解：y=∫(1/x)ln(c?x)dx=∫ln(c?x)d(lnc?x)=(1/2)ln2(c?x)+c?;

Answer 2

观察知，当n趋向于正无穷时，an的绝对值的极限为1，不等于0，因此发散。
求极限的方法很多，比较简单的方法是证明出数列收敛后，令an=a(n+1)，解出即可。
供参考