Question

周长相等的长方形，正方形和圆面积最大的是哪个？

Answer 1

随便找一个数字假设为周长，然后根据三个公式，求出面积。对比后，是圆的面积最大。

举例：如三角形、正方形、圆在周长均为12
1.三角形（拿等边三角形为例）：3X=12,则边长为4,高为2倍根号3,面积为4倍根号3
2.正方形：边长为3,面积为9
3.圆：2∏R=12,则R=∏分之6,则面积为=∏分之36
故：周长相等的情况下：圆面积>正方形面积>三角形面积
稍繁一点的
首先证明在边数相等的情况下正多边形的面积最大——比如若两相邻的边不等,容易证明在保持长度和不变的情况下一旦将它们换成相等时,比原面积要大,所以面积最大的是正多边形.然后证明边数约大面积越大,方法是将正多边形像切蛋糕那样从中心点切成一片一片三角形,每一个三角形的面积等于边长乘以中心到边的距离除以2,于是整个多边形的面积等于周长乘以中心到边的距离除以2,周长一定时,中心到边的距离越长,面积越大.可证,边长越多时中心到边的距离越大,因为中心到边的距离为cot2PI/2N * C/2N,分别代入N和N'后相除比较大小即可,当边长趋于无穷时,中心到边的距离趋近于中心到顶点的距离,这时候面积是最大的.

Answer 2

圆的面积最大。
长方形的面积为：长×宽、周长为2×（长+宽）；正方形的面积为：边长的平方、周长为4×变长；圆的面积为π×半径的平方、周长为2π×半径。
如此一来。现设周长为单位1，那么长方形的话，长+宽=1/2，如果长是1/3，那么宽则是1/6，面积为1/18，而正方形的话，变长为1/4，面积为1/16。可以证明相同周长下，正方形的面积总会比长方形的面积大。
最后比较圆与正方形的面积，同样是利用单位1。圆的半径是1/（2π），那么面积是1/（4π），正方形的面积上面已算为1/16，因为知道4π小于16，作为分母，因此1/（4π）大于1/16。

Answer 3

周长相等的长方形，正方形和圆面积最大的是圆，证明如下，点击放大：

Answer 4

周长相等的长方形，正方形和圆，面积最大的是：圆

Answer 5

解，设长方形，长为x，宽为y，周长C
则S=xy，x+y=C/2
S=xy≤(x+y)^2/4=C^2/16
即x=y，则正方形时大。
圆半经为R=C/2兀
S=兀R^2=C^2/4兀>C^2/16=S正
则圆面积最大。