Question

已知函数f﹙x﹚=mx²-mx-1 若对于x∈[1,3],f﹙x﹚<5-m恒成立，求m的取值范围

Answer 1

对于x∈[1,3],g(x)=f(x)-(5-m)=mx^2-mx+m-6＜0恒成立
m=0时，g(x)=-6，符合要求
m≠0时，g(x)对称轴为x=1/2
∴mx^2-mx+m-6＜0恒成立
(1){m＞0
g(3)=7m-6＜0
→0＜m＜6/7
(2){m＜0
g(1)=m-6＜0
→m＜0
综上所述，m取值范围为：m＜6/7

Answer 2

解：
（此类题型当函数二次项含有参数的时候必须要考虑二次项系数为0的情况）
1.当m=0时
即-1<5显然恒成立，所以m=0满足要求；
2、当m≠0时
原不等式即：mx²-mx-1<5-m即m(x-1/2)²-5+m-m/4=m(x-1/2)²+3m/4-5<0
关于m的函数g(m)=m(x-1/2)²+3m/4-5,对称轴为x=1/2，顶点纵坐标为3m/4-5
（1）当m>0时，抛物线开口向上，因为对称轴x=1/2在区间[1,3]的左侧，则函数在该区间单调递增，此时只需g(3)<0即可，代入解得0
追问：
额······怎么答案不一样
追答：
不好意思是我写错！
解：
（此类题型当函数二次项含有参数的时候必须要考虑二次项系数为0的情况）
1.当m=0时
即-1<5显然恒成立，所以m=0满足要求；
2、当m≠0时
原不等式即：mx²-mx-1<5-m即m(x-1/2)²-6+m-m/4=m(x-1/2)²+3m/4-6<0
关于m的函数g(m)=m(x-1/2)²+3m/4-6,对称轴为x=1/2，顶点纵坐标为3m/4-6
（1）当m>0时，抛物线开口向上，因为对称轴x=1/2在区间[1,3]的左侧，则函数在该区间单调递增，此时只需g(3)<0即可，代入解得0
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