Question

为什么调和级数1+1/2+1/3+1/4+......+1/n+....是发散的？不用反证法怎么证明？

Answer 1

解：假设数列{un}是收敛数列}（-1）的n次方乘以n+1分之n的极限为a
由于(-1)的n次方*n/n+1=(-1)的n次方-(-1)的n次方/n+1
因为(-1)的n次方/n+1的极限为0（n趋于无穷时）
则数列｛(-1)的n次方/n+1｝收敛
则
(-1)的n次方的极限=(-1)的n次方*n/n+1的极限+-(-1)的n次方/n+1
=a+0=a（n趋于无穷时）
又因为易知(-1)的n次方的极限不存在（(-1)的n次方的极限=1，n取偶数
(-1)的n次方的极限=-1，n取奇数）
故假设不成立，所以数列{un}={（-1）的n次方乘以n+1分之n}
是发散的