Question

设随机变量X1与X2相互独立,且X1-N(μ,σ^2),X2-N(μ,σ^2).令X=X1+X2, Y=X1-X2，求D(X)

Answer 1

随机变量x1，x2，x3相互独立
故
d(y)
=d(x1－2x2+3x3)
=d(x1)
+d(2x2)
+d(3x3)
=d(x1)
+4d(x2)
+9d(x3)
x1~b(5,0.2)，二项分布
所以d(x1)=5×0.2×(1-0.2)=0.8
x2是不是写错了？
估计应该是
x2~n(0,4)吧，正态分布，
所以d(x2)=4
x3服从参数为3的泊松分布，
故d(x3)=3
所以
d(y)=d(x1)
+4d(x2)
+9d(x3)
=0.8
+4×4+9×3
=43.8

Answer 2

X~N(0,σ^2)E(X1+X2)=EX1+EX2=0D(X1+X2)=DX1+DX2=2σ^2X1+X2~N(0,2σ^2)同理：X1-X2~N(0,2σ^2)所以1/√2σ(X1+X2)~N(0,1)1/√2σ(X1-X2)~N(0,1)所以1/2σ^2(X1+X2)^2~X^2(1)X^2(n)代表自由度为n的卡方分布同理1/2σ^2(X1-X2)^2~X^2(1)令A=1/2σ^2(X1+X2)^2B=1/2σ^2(X1-X2)^2所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2=1/2σ^2(X1+X2)^2/1/2σ^2(X1-X2)^2=A/B=(A/1)/(B/1)而这就是F(1,1)分布的定义所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2~F(1,1)