Question

线性空间

Answer 1

首先我们介绍线性空间的定义。

如果有空间V和数域F，在F中定义了四则运算且对其封闭，对于V中的成员x,y,z和F中的成员a,b，在V中定义了 “加法” ：x+y，在F和V上定义 “数乘” ：ax。

我们称V是 线性空间 ，如果它满足下面的10条性质：

其中要注意的是，所谓零元并不一定是0，所谓幺元也不一定是1.上面的 和 只是这里的一种记法而已。关于此，接下来会有说明。

我们令F为实属域R，下面的几个例子中，V都满足上面的10条性质，因此都可以称为线性空间：

对于一个线性空间V来说，它的零元是唯一的。这可以用反证法来说明：

同样的，对于某个在V中的x，其负元也是唯一的。这也可以通过类似的反证法说明：

请注意，上面的证明，是全部建立在线性空间的10条性质基础上的，并没有其它定义之外的任何操作。

那么我们要问，既然零元和负元具有唯一性，那么线性空间的幺元是否唯一呢？答案是否定的。

可以举这么一个例子来说明：V是只含元素0的空间。F取作R。可以验证，V是一个线性空间。但是它的幺元可以是F中的任意实数。这就说明，一个线性空间的幺元可以是不唯一的。这同时也说明幺元不一定是1.

最后，我们再来看一个例子：

这同时说明，只要定义合理，零元也不一定就是0.